Investigación sobre buenos problemas de matemáticas

En el blog Mathematics Education Research Blog, cuyo autor es Reidar Mosvold (profesor de Educación Matemática de la Universidad de Stavanger, Noruega), acabo de encontrar una reseña del artículo What makes a problem mathematically interesting? Inviting prospective teachers to pose better problems (¿Qué hace que un problema de matemáticas sea interesante? Una invitación a futuros profesores para plantear problemas mejores), publicado en el presente mes de junio en la revista Journal of Mathematics Teacher Education, cuyas autoras son Sandra Crespo y Nathalie Sinclair. Ellas resumen así su artículo:

Los estudiantes de todas las edades, incluidos los que posteriormente se convertirán en profesores, tienen una experiencia limitada a la hora de plantear sus propios problemas matemáticos. Sin embargo, plantear problemas, tanto como actividad de investigación matemática como de enseñanza de las matemáticas, es parte de la visión de la reforma de la enseñanza de las matemáticas que trata de promover a éstas como una actividad intelectual digna. En este estudio, las autoras exploran la conducta de los futuros profesores al plantear problemas, lo que demandaba el análisis de los tipos de problemas como consecuencia de dos intervenciones. Dichas intervenciones fueron diseñadas para investigar los efectos de (a) la exploración de una situación matemática como precursora del planteamiento de un problema matemático que se presenta, y (b) el desarrollo de criterios estéticos para juzgar la calidad matemática de los problemas planteados. Los resultados muestran que ambas intervenciones dieron lugar a un mejor planteamiento de problemas y a una comprensión más alta de lo que hace que un problema sea “bueno”.

Vale la pena leer el artículo completo (acceso al pdf [253 KB] por suscripción institucional de la Universidad de León), pero para abrir boca dejo la traducción del post de Reidar Mosvold. Dice así:

Los problemas matemáticos son una parte integral del aprendizaje de las matemáticas, y aunque la mayoría de los alumnos encuentran problemas matemáticos del tipo de los que se plantean en los libros de texto, los profesores tienen un papel importante en la asignación adecuada de los que los estudiantes han de resolver. Los futuros profesores han tenido pocas oportunidades de centrarse en problemas que se les plantean en sus estudios y su experiencia con problemas matemáticos, en su mayoría, están en relación con la solución de los que les plantea el profesor o están en un libro de texto. Las autoras del presente artículo “consideran la práctica de plantear problemas es especialmente importante para los futuros profesores, porque una gran parte del trabajo de enseñar implica plantear y generar lo que la comunidad de educación matemática define como “buenas” preguntas, preguntas que pretenden apoyar el “trabajo matemático” de los estudiantes.

Los principales interrogantes que se describen en este estudio son:

1. ¿Cuál es la función de exploración en el proceso de plantear problemas? (¿Qué sucede cuando los futuros profesores plantean problemas con y sin una exploración previa de la situación que podría motivar sus preguntas? ¿Qué tipo de preguntas plantean en cada uno de estos dos tipos de contextos de planteamiento estructurado de problemas?).
2. ¿Cómo determinan los futuros profesores la calidad de las preguntas que plantean? (¿Qué lógica proporcionan cuando se les pide que justifiquen por qué sus preguntas son matemáticamente interesantes? ¿Cuál es el efecto de explicitar algunas de las cualidades que hacen interesantes los problemas de matemáticas y valiosa su resolución?).

Así terminan:
Las preguntas fueron investigadas en un curso que impartió Sandra Crespo en el cuarto año de un programa de formación docente de cinco años de duración. Un tema central en el curso era una “pedagogía de investigación” en lugar de uno de presentación. Los los estudiantes tuvieron la oportunidad de investigar distintas formas de enseñanza de las matemáticas. Había 22 estudiantes en el curso y los investigadores usaron en el estudio cuatro tareas y dos intervenciones de clase. Los datos se obtuvieron en trabajos escritos de los estudiantes, así como notas de campo de observaciones del trabajo de los estudiantes con las tareas encomendadas y de los debates en clase.

Doy las gracias a las autoras del artículo y al autor del post por sus aportaciones. Considero muy valiosas estas investigaciones, que hacen que los desarrollos teóricos se acerquen a los profesores de “a pie de aula” (y no se queden perdidos por “las alturas”), que no tenemos el tiempo ni los recursos necesarios para abordar todos los frentes prioritarios que nos plantea la educación matemática, acorde con los tiempos actuales, mirando hacia el desarrollo de las competencias que propugna el EEES, una de las cuáles es el planteamiento y resolución de problemas que la vida personal y profesional nos plantee a lo largo de la vida, en un momento en que las necesidades sociales son altamente cambiantes.

Para aportar “un granito de arena”, planteo un buen problema y uno menos bueno, propuestos por una de mis estudiantes para maestra, junto con sus comentarios:

• El bueno: ¿Cómo averiguarías la cantidad de líquido que hay en una lata de tu refresco favorito? (Obtener la respuesta supone entender la situación problemática y pensar de manera holística, hasta se puede calcular sin más que mirar la etiqueta).
• El menos bueno: Calcula el volumen de un cilindro de 11 cm. de altura, cuya base tiene un radio de 3,5 cm. (La respuesta se obtiene aplicando la fórmula sin más que saber multiplicar).