Hace ya unos días que me llegó en formato papel el número 1 del volumen 3 (septiembre de 2008) de PNA, Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática, publicada por la Universidad de Granada.
A continuación recojo los artículos de dicho número, tan interesantes como los de números anteriores, con referencia a los autores y al abstract correspondiente.

• Pensamiento Diagramático: Notas sobre la Semiótica y la Epistemología de Peirce, Luis Radford (Université Laurentienne).

En este artículo se discute el papel que desempeña el concepto de pensamiento diagramático en el contexto de la actividad cognitiva, tal y como es concebida dentro del marco de la teoría semiótica de Peirce y su subyacente ontología realista. Luego de presentar una visión general del escepticismo kantiano en su contexto histórico, se examina el esfuerzo de Peirce por rescatar la percepción, esfuerzo que lo lleva a indagar de manera innovadora el “multiespacio de los sentidos” del que hablaba Kant. Se mantiene que este esfuerzo lleva a Peirce a una serie de problemas que son tan fundamentales como los que Kant encontró en su propio itinerario epistemológico. Se sostiene que la comprensión de las dificultades intrínsecas a la epistemología de Peirce nos permite cernir mejor los límites y posibilidades de su pensamiento diagramático.

• Modo de Uso del Conocimiento Profesional en Procesos de Reflexión en la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas, María Peñas (I.E.S. Américo Castro y Pablo Flores (Universidad de Granada).

Describimos aquí parte de una investigación en la que se analiza el proceso de reflexión que realizaron los estudiantes de último año de Matemáticas sobre cuestiones profesionales relativas a la enseñanza de las matemáticas, que surgieron durante sus prácticas de enseñanza. Caracterizamos la reflexión de los estudiantes a partir de una serie de dimensiones: ideas y creencias, autoridad, consideración del contexto, situaciones problemáticas y uso del conocimiento. En este artículo trataremos el modo en que los estudiantes usaron el conocimiento profesional cuando tuvieron que impartir una clase a sus compañeros sobre la cuestión profesional ¿Cómo evaluar un ejercicio/examen?

• Análisis Didáctico y Formación Inicial de Profesores: Competencias y Capacidades en el Aprendizaje de los Escolares, Jose Luis Lupiáñez (Universidad de Granada) y Luis Rico (Universidad de Granada).

En este trabajo precisamos el significado de los términos capacidad y competencia en el marco de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. Describimos brevemente las bases de ese programa y, a continuación, presentamos y ejemplificamos un procedimiento mediante el cual los futuros profesores reflexionan en torno al aprendizaje de los escolares y usan esas nociones cuando abordan la planificación de una unidad didáctica.

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En la página de Juan D. Godino encontré el artículo Didactic Effectiveness of Mathematical Definitions. The case of the absolute value (Eficacia didáctica de definiciones equivalentes de una noción matemática) publicado en el nº 2, volumen 2, Julio de 2007 de la revista Internacional Electronic Journal of Mathematics Education (IEJME), cuyos autores son, además de J.D. Godino (Universidad de Granada), M.R. Wilhelmi y E. Lacasta (Universidad Pública de Navarra).
Me pareció interesante para reseñar en este blog y me disponía a traducirlo cuando el siempre colaborativo Juan D. Godino, al que agradezco su disposición a compartir, me proporcionó el texto en español. Así que, la tarea me resultó fácil.

El resumen del artículo es el siguiente:

En muchas ocasiones un objeto matemático puede ser introducido por un conjunto de definiciones equivalentes. Una cuestión fundamental consiste en determinar la eficacia didáctica de las técnicas asociadas a estas definiciones para la resolución de una clase de problemas; eficacia que se valora teniendo en cuenta las dimensiones epistémica, cognitiva e instruccional de los procesos de estudio abordables. Para dar un ejemplo de este proceso, en este artículo estudiamos la eficacia didáctica de técnicas asociadas a diferentes definiciones de la noción de valor absoluto (NVA). La enseñanza y el aprendizaje de la NVA son problemáticos. Prueba de ello es la cantidad y heterogeneidad de investigaciones que se han desarrollado. Nosotros proponemos un estudio “global” mediante un enfoque ontológico y semiótico (Godino, 2002; Wilhelmi, Godino y Lacasta, 2004).
Las palabras clave: definición, modelo y holo-significado asociados a una noción matemática, eficacia cognitiva, valor absoluto, análisis implicativo y jerárquico.

El artículo está estructurado en siete apartados:

1. Equivalencia matemática versus equivalencia didáctica de definiciones
2. Naturaleza de la noción de valor absoluto
3. Contextos de uso de la noción de valor absoluto
4. Complejidad onto-semiótica del valor absoluto
5. Eficacia cognitiva de los modelos aritmético y “función a trozos” del valor absoluto
6. Implicaciones macro y micro didácticas
7. Referencias
8. Anexo

Recojo aquí las partes que considero más sugerentes para motivar la lectura completa y para llevar a cabo otras investigaciones bajo el marco teórico propugnado por los autores.
Equivalencia matemática versus equivalencia didáctica de definiciones
Una de las metas de la enseñanza de las matemáticas debería ser encauzar más tempranamente los hábitos de pensamiento cotidiano hacia el modo del pensar técnico-científico, como medio de salvar los conflictos entre la estructura (formal) de las matemáticas y el progreso cognitivo. El proceso de definición de objetos matemáticos representa “more than anything else the conflict between the structure of mathematics, as conceived by professional mathematicians, and the cognitive processes of concept acquisition” (Vinner, 1991, p.65). Este hecho justifica el gran número de investigaciones en didáctica de las matemáticas cuyo tema es la definición matemática. Cada una de estas investigaciones incide en aspectos concretos de la definición referidos a contextos de uso (geométrico, analítico, algebraico, etc.), objetos matemáticos (derivada, tangente, valor absoluto, etc.), propiedades de la definición (minimalidad, elegancia, consistencia, etc.) o relación con otros procesos matemáticos (descripción, metáfora, modelo, proposición). Nosotros estamos interesados en justificar que existe una brecha importante entre la equivalencia matemática de dos definiciones de un mismo objeto y la equivalencia epistémica, cognitiva o instruccional, esto es, la equivalencia didáctica.

A través del profesor Luis Puig, del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valencia, que tanto tiempo lleva haciendo una estupenda labor en torno a la resolución de problemas (me refiero a los didáctico/matemáticos), tengo información de que en el próximo XII Simposio de la SEIEM, en el Seminario Resolución de problemas. 30 años después, que él mismo coordina, se debatirán los documentos que enlazo a continuación.
En la página del profesor Puig también podemos ver información de gran interés para todos los interesados en Educación Matemática, tal como las referencias a libros que ha escrito o editado, algunos de textos seleccionados por él y, tal como él dice “cosas que hago por vicio o entretenimiento” (teatrero, rockero, bloguero en elepé en pausa, …, dice).
Los textos que se debatirán son:

• Resolución de problemas: Ideas, tendencias e influencias en España: Enrique Castro (Universidad de Granada).
• A resolução de problemas e a identidade da educação matemática em Portugal: José Manuel Matos (Universidade Nova de Lisboa).
• Presencia y ausencia de la resolución de problemas en la investigación y el currículo (Luis Puig, Universidad de Valencia).
• La Resolución de Problemas Matemáticos: Avances y Perspectivas en la Construcción de una Agenda de Investigación y Práctica, Manuel Santos Trigo, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Cinvestav-IPN).

En esta ocasión no podré asistir al Simposio de la SEIEM, a la que pertenezco, como consecuencia de esa odiosa cosa que se llaman exámenes de septiembre, a los que mucho sentido no les encuentro, pero que forman parte de mi obligación docente . No digo educativa, porque tales exámenes no veo que tengan mucho de ello. La verdad es que es una pena. Tal como escribía en un post anterior, los temas y los ponentes, garantizan el interés. Pero todo no puede ser.

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Ángel Gutiérrez, profesor del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valencia, ha presentado en el 11º International Congress on Mathematical Education (ICME), recientemente celebrado, un interesante trabajo que comento y reproduzco con su permiso.
El profesor Gutiérrez coordinó el equipo para estudiar el impacto de los resultados de investigación en Educación Matemática sobre el Aprendizaje de las Matemáticas de los estudiantes (Survey on the Impact of Research Findings in Mathematics Education on Students’ Learning of Mathematics).

El trabajo que presentó en el Congreso comienza con la pregunta (el original en inglés, igual que el resto de las citas):

Los resultados de la investigación en Educación Matemática ¿afectan al aprendizaje de las matemáticas de los estudiantes en las aulas habituales?

y en él señala alguna de las objeciones de los profesores, que comparto en gran medida en relación con muchas investigaciones fuera del aula. Aunque, también es verdad, los resultados de investigación no siempre son aplicables a corto plazo.

• Los investigadores parecen vivir lejos de la vida real.
• El acceso fácil a los resultados de investigación es un problema para los profesores habituales.
• No hay textos sobre educación matemática en donde la teoría esté disponible y aplicable.
• El vocabulario de los investigadores está alejado del de los profesores.
• La mayor parte de los resultados de investigación tienen áreas de aplicación limitadas, pareciendo inútiles para los profesores.
• La mayor parte de los informes de investigación no son lo suficientemente prácticos para la actividad cotidiana de los profesores.

Respecto a estas “quejas” el autor asegura:

La implementación de cualquier cambio en un sistema educativo, especialmente los relativos a los hábitos de los profesores, tienden a necesitar un largo camino y muchos años para que el cambio se generalice, así que los investigadores no deberían esperar resultados rápidos para que la investigación impacte verdaderamente en la práctica, y deben tener cuidado de no producir sólo resultados útiles, sino también de difundir la información eficazmente.

Esto parece indicar que los profesores “de a pié” debemos tener paciencia, lo que no siempre resulta fácil, tal vez debido a nuestra ¿ansiedad? frente al deseo de que nuestros estudiantes aprendan más y mejor, cosa que en matemáticas es especialmente necesario. Al respecto destaco la idea de R. Even que aparece en la presentación:

Mientras que la investigación ha florecido en las últimas décadas, muchos profesores no están familiarizados con ella, por muchas razones como textos escritos en idiomas extranjeros, o la creencia común entre los profesores acerca de que los resultados de investigación son irrelevantes para su práctica cotidiana porque los investigadores no producen pautas para la acción que puedan usar de modo inmediato.

La primera reflexión que me surge al respecto es la responsabilidad y necesidad de que los formadores de profesores intentemos iniciar a nuestros estudiantes en la investigación más que transmitir información que, por otra parte, hoy día está al alcance de todos nosotros. Otra cosa distinta es que, ya a pié de aula, los profesores de cualquier nivel educativo, formadores incluidos tengamos las condiciones imprescindibles para atender a los resultados de la investigación, por no hablar de investigar: equipos de trabajo, herramientas adecuadas, asesoramiento al alcance de cualquiera, tiempo suficiente, herramientas para la difusión, …
Esto me llevó, inevitablemente, a pensar en la postura, dicen que incuestionable, de la Junta de Castilla y León de cara a la implantación de las nuevas titulaciones correspondientes al Proceso de Bolonia: coste cero. La verdad es que muy bien no lo entiendo. Parece desprenderse que los Planes de Estudio van a estar condicionados, entre otras cosas, a la plantilla de profesorado existente. Entonces, digo yo, no prima la calidad potencial de las nuevas enseñanzas ni la excelencia y competitividad pretendida para las nuevas titulaciones: cambiar Planes de Estudios sí, pero de acuerdo con los recursos actuales. Parece que a esas instancias oficiales tampoco llegan los resultados de la investigación educativa .

Después de la divagación, retomo el tema de este post.

En relación con la respuesta a la pregunta inicial, el autor afirma:

[…] podemos concluir que los resultados de la investigación en educación matemática está impactando sobre el aprendizaje de las matemáticas por parte de los estudiantes. Hemos mostrado varios casos que, no pretendiendo ser representativos, muestran que hay una tendencia mundial a tomar en consideración los resultados de investigación para mejorar la enseñanza y el aprendizaje. Por supuesto, podríamos haber mostrado también otros casos en los que resultados de investigación bien conocidos han sido absolutamente ignorados. Sin embargo, garantizado que hay un impacto sobre el aprendizaje de los estudiantes, no hay herramientas adecuadas para medir el alcance de tal influencia.

Son muchas más las ideas interesantes que recoge la presentación del profesor Gutiérrez, pero mejor leerlas de primera mano:

El pdf con el texto completo se puede ver y descargar desde aquí.

Finalizo dado las gracias a todos los investigadores que se preocupan porque su producción llegue a los profesores, en este caso, y muy especialmente, a Ángel Gutiérrez.

[Actualización]: el autor del trabajo me alerta, textualmente, de que “hay algunos “desarreglos” gráficos, casi inevitables cuando se pasa de un tipo de archivo a otro, que hacen que los textos se salgan de sus cajas o que algunas flechas no apunten a donde deben. A veces estos desarreglos tienen también que ver con el navegador usado.”
Estos pequeños destrozos del documento original no creo que afecten a la comprensión, pero sí a la estética del documento original, por lo que pido disculpas, sobre todo al autor.

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Acabo de recibir la edición en papel del nº 4, de junio de 2008, de la Revista PNA - Revista de Investigación en Didáctica de la Matemática. Los artículos, autores y abstracts respectivos son:

• Investigar a Nossa Própria Prática: uma Estratégia de Formação e de Construção do Conhecimento Profissional (Investigar en nuestra propia práctica: una estrategia de educación de formación y construcción del conocimiento profesional)(en el original en portugués), João Pedro da Ponte.

Los profesionales de la educación se enfrentan a innumerables problemas en su práctica. En lugar de esperar soluciones externas, muchos de ellos investigan directamente esos problemas. En este artículo se analiza el significado de esa investigación para la formación y construcción del conocimiento profesional. Para ilustrar tal perspectiva, analizo la sesión del Grupo de Trabalho de Investigação (GTI) (Grupo de Trabajo de Investigación) de la Associação de Professores de Matemática (APM) (Asociación de Profesores de Matemáticas), y presento dos investigaciones de profesores sobre su propia práctica. También abordo cuestiones problemáticas en este tipo de investigación, incluida su composición paradigmática, metodología, papel y dificultades de colaboración, y las condiciones institucionales y profesionales de la cultura necesaria para su realización.

• La Enseñanza del álgebra Lineal utilizando Modelización y Calculadora Gráfica: un Estudio con Profesores en Formación, José Ortíz, Luis Rico y Enrique Castro.

Exploramos el conocimiento didáctico desarrollado por diez futuros profesores de matemáticas de secundaria que participaron en un programa de formación que integra, a través del álgebra lineal, el uso de la calculadora gráfica y la modelización matemática. Utilizamos una aproximación cualitativa. El análisis de las actividades de enseñanza diseñadas por los participantes que involucran la calculadora gráfica y la modelización muestra cambios y progreso en su conocimiento didáctico.

• Errores en el Ajuste del Valor Posicional en Tareas de Estimación: un Estudio con Maestros en Formación, Carlos de Castro, Enrique Castro e Isidoro Segovia.

En este estudio se analizan los errores, en el ajuste del valor posicional, en los que incurren maestros en formación en tareas de estimación de multiplicación y división con números naturales y decimales. Para ello, se elaboró una prueba de estimación compuesta por 24 cálculos directos, sin contexto, que se aplicó a 26 futuros maestros. Posteriormente se realizaron entrevistas para determinar los errores en los que incurrieron y se encontraron 8 tipos diferentes de errores. Los errores más frecuentes son los debidos a un conteo defectuoso de las posiciones para establecer el orden de magnitud de los resultados y los que se producen al dividir un número por otro mayor añadiendo un cero de más al cociente. La colocación de la coma decimal en el resultado es, en todos los casos, una gran fuente de dificultad.

Como siempre en la citada revista, los artículos merecen ser leídos y pensados para mejorar nuestra práctica docente.

El artículo de João Pedro da Ponte, con su autorización, lo publicaré traducido en cuanto lo tenga listo. Espero no tardar mucho.

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Los días 4, 5 y 6 del próximo septiembre, se celebrará el XII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) en la Facultad de Educación (Badajoz) de la Universidad de Extremadura, coordinado por el colega Lorenzo J. Blanco, del Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas de la citada Universidad.

Está prevista la celebración de los seminarios:

• La investigación en Educación matemática en España y Portugal: Marcos generales y perspectivas de futuro.
• Resolución de problemas: 30 años después.

Así mismo se celebrarán sesiones de trabajo de los grupos de investigación de la SEIEM para discutir los trabajos en curso y la planificación de actividades futuras:

• Aprendizaje de la Geometría
• Conocimiento y Desarrollo Profesional del Profesor
• Didáctica de la Estadística, Probabilidad y Combinatoria
• Didáctica de la Matemática como Disciplina Científica
• Didáctica del Análisis
• Historia de la Educación Matemática
• Pensamiento Numérico y Algebraico

La coordinación por parte de Lorenzo J. Blanco, así como la presencia de investigadores de la talla de los ponentes del Simposio, como Enrique Castro (Universidad de Granada), Jeremy Kilpatrick (Universidad de Georgia), Joao Pedro da Ponte (Centro de Investigaçao em Educaçao e Departamento de Educaçao, Universidade de Lisboa), J. Manuel Matos (Universidade Nova de Lisboa), Luz Manuel Santos Trigos (Centro de Investigación y de Estudios Avanzado del Instituto Politécnico Nacional, Cinvestav IPN, México) o Salvador Llinares (Universidad de Alicante), garantiza el interés del evento.

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Segunda parte de este paper que ha sintetizado y analizado muy bien muchas de las estructuras y componentes de los sitios redes sociales. Las autoras en su proceso histórico de creación de sitios de redes sociales analizan cómo se convierten en un fenómeno global y cómo se expanden éstas. Como ejemplo ponen a Facebook. Analizan y repasan los distintos estudios y artículos de investigación que ha habido al respecto como la gestión de la imagen y funcionamiento de la amistad, las redes y la estructura de esa red, conexiones online/offline y cuestiones de privacidad. Espero que sea de provecho y anime la investigación en el ámbito español. Tras publicar la primera parte aquí dejamos la segunda, que también se publica en el blog de Fernado S:

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