A través del profesor Luis Puig, del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valencia, que tanto tiempo lleva haciendo una estupenda labor en torno a la resolución de problemas (me refiero a los didáctico/matemáticos), tengo información de que en el próximo XII Simposio de la SEIEM, en el Seminario Resolución de problemas. 30 años después, que él mismo coordina, se debatirán los documentos que enlazo a continuación.
En la página del profesor Puig también podemos ver información de gran interés para todos los interesados en Educación Matemática, tal como las referencias a libros que ha escrito o editado, algunos de textos seleccionados por él y, tal como él dice “cosas que hago por vicio o entretenimiento” (teatrero, rockero, bloguero en elepé en pausa, …, dice).
Los textos que se debatirán son:

• Resolución de problemas: Ideas, tendencias e influencias en España: Enrique Castro (Universidad de Granada).
• A resolução de problemas e a identidade da educação matemática em Portugal: José Manuel Matos (Universidade Nova de Lisboa).
• Presencia y ausencia de la resolución de problemas en la investigación y el currículo (Luis Puig, Universidad de Valencia).
• La Resolución de Problemas Matemáticos: Avances y Perspectivas en la Construcción de una Agenda de Investigación y Práctica, Manuel Santos Trigo, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Cinvestav-IPN).

En esta ocasión no podré asistir al Simposio de la SEIEM, a la que pertenezco, como consecuencia de esa odiosa cosa que se llaman exámenes de septiembre, a los que mucho sentido no les encuentro, pero que forman parte de mi obligación docente . No digo educativa, porque tales exámenes no veo que tengan mucho de ello. La verdad es que es una pena. Tal como escribía en un post anterior, los temas y los ponentes, garantizan el interés. Pero todo no puede ser.

Acabo de ver el nº 2 del volumen 3, de la revista International Electronic Journal of Mathematics Education. Contiene los siguientes artículos, cuyo abstract incluyo traducido:

* Critical Mathematics Education: Recognizing the Ethical Dimension of Problem Solving, Elizabeth de Freitas (EEUU).

En este trabajo, examino la noción de aplicaciones matemáticas aplicaciones de la “vida real” como posibles puntos para la reflexión ética en las matemáticas escolares. Discuto los problemas con la “realidad” en educación matemática, y muestro cómo estos problemas a menudo se basan en teorías cognitivas de la transferencia del conocimiento deficientes. Considero después visiones alternativas de aplicación matemática y sugiero que la atención al discurso del aula y el trabajo artesanal de las matemáticas ofrecen vías para la introducción de la ética en las matemáticas escolares.

*Mathematics Teachers’ Interpretation of Higher-Order Thinking in Bloom’s Taxonomy, Tony Thompson (EEUU).
Este estudio investigó la interpretación de los profesores de matemáticas sobre el pensamiento de orden superior en la taxonomía de Bloom. Se pidió a treinta y dos profesores de matemáticas de nivel secundario del sureste EE.UU. que (a) definieran el pensamiento de nivel inferior y superior, (b) identificaran las habilidades de pensamiento que representan en la taxonomía de Bloom los niveles de pensamiento inferior y superior, y (c) creasen un ítem representativo para un examen final un Álgebra I de cada habilidad de pensamiento. Los resultados indican que los profesores de matemáticas tienen dificultades para interpretar las habilidades de pensamiento de la taxonomía de Bloom y para crear preguntas de examen para el pensamiento de orden superior. Se discuten alternativas al uso de la taxonomía de Bloom para ayudar a los profesores de matemáticas en la evaluación del pensamiento de nivel superior.

* Development of a Computerized Number Sense Scale for 3-rd Graders: Reliability and Validity Analysis, Der-Ching Yang, Mao-neng Fred Li y Wei-Jin Li (Taiwan).

Este estudio se realizó para desarrollar una escala de sentido numérico computerizado (CNST) para evaluar el desempeño de los estudiantes que ya habían completado el 3er grado currículo de matemáticas. En este estudio participaron en total 808 estudiantes representatativos de escuelas primarias, incluidas las ciudades, comarcas y zonas rurales de Taiwan.
Los resultados de los análisis estadísticos y de contenido indicaron que esta escala de sentido numérico computerizado muestra buena fiabilidad y validez. El coeficiente alfa de Cronbach de la escala fue 0,8526 y su fiabilidad de constructo 0,805. Además, a través del análisis factorial confirmatorio y de la revisión de la literatura fue empírica y teóricamente apoyado el modelo de 5 factores del sentido numérico.

En el blog Mathematics Education Research Blog, cuyo autor es Reidar Mosvold (profesor de Educación Matemática de la Universidad de Stavanger, Noruega), acabo de encontrar una reseña del artículo What makes a problem mathematically interesting? Inviting prospective teachers to pose better problems (¿Qué hace que un problema de matemáticas sea interesante? Una invitación a futuros profesores para plantear problemas mejores), publicado en el presente mes de junio en la revista Journal of Mathematics Teacher Education, cuyas autoras son Sandra Crespo y Nathalie Sinclair. Ellas resumen así su artículo:

Los estudiantes de todas las edades, incluidos los que posteriormente se convertirán en profesores, tienen una experiencia limitada a la hora de plantear sus propios problemas matemáticos. Sin embargo, plantear problemas, tanto como actividad de investigación matemática como de enseñanza de las matemáticas, es parte de la visión de la reforma de la enseñanza de las matemáticas que trata de promover a éstas como una actividad intelectual digna. En este estudio, las autoras exploran la conducta de los futuros profesores al plantear problemas, lo que demandaba el análisis de los tipos de problemas como consecuencia de dos intervenciones. Dichas intervenciones fueron diseñadas para investigar los efectos de (a) la exploración de una situación matemática como precursora del planteamiento de un problema matemático que se presenta, y (b) el desarrollo de criterios estéticos para juzgar la calidad matemática de los problemas planteados. Los resultados muestran que ambas intervenciones dieron lugar a un mejor planteamiento de problemas y a una comprensión más alta de lo que hace que un problema sea “bueno”.

Vale la pena leer el artículo completo (acceso al pdf [253 KB] por suscripción institucional de la Universidad de León), pero para abrir boca dejo la traducción del post de Reidar Mosvold. Dice así:

Los problemas matemáticos son una parte integral del aprendizaje de las matemáticas, y aunque la mayoría de los alumnos encuentran problemas matemáticos del tipo de los que se plantean en los libros de texto, los profesores tienen un papel importante en la asignación adecuada de los que los estudiantes han de resolver. Los futuros profesores han tenido pocas oportunidades de centrarse en problemas que se les plantean en sus estudios y su experiencia con problemas matemáticos, en su mayoría, están en relación con la solución de los que les plantea el profesor o están en un libro de texto. Las autoras del presente artículo “consideran la práctica de plantear problemas es especialmente importante para los futuros profesores, porque una gran parte del trabajo de enseñar implica plantear y generar lo que la comunidad de educación matemática define como “buenas” preguntas, preguntas que pretenden apoyar el “trabajo matemático” de los estudiantes.

Los principales interrogantes que se describen en este estudio son:

1. ¿Cuál es la función de exploración en el proceso de plantear problemas? (¿Qué sucede cuando los futuros profesores plantean problemas con y sin una exploración previa de la situación que podría motivar sus preguntas? ¿Qué tipo de preguntas plantean en cada uno de estos dos tipos de contextos de planteamiento estructurado de problemas?).
2. ¿Cómo determinan los futuros profesores la calidad de las preguntas que plantean? (¿Qué lógica proporcionan cuando se les pide que justifiquen por qué sus preguntas son matemáticamente interesantes? ¿Cuál es el efecto de explicitar algunas de las cualidades que hacen interesantes los problemas de matemáticas y valiosa su resolución?).

Así terminan:
Las preguntas fueron investigadas en un curso que impartió Sandra Crespo en el cuarto año de un programa de formación docente de cinco años de duración. Un tema central en el curso era una “pedagogía de investigación” en lugar de uno de presentación. Los los estudiantes tuvieron la oportunidad de investigar distintas formas de enseñanza de las matemáticas. Había 22 estudiantes en el curso y los investigadores usaron en el estudio cuatro tareas y dos intervenciones de clase. Los datos se obtuvieron en trabajos escritos de los estudiantes, así como notas de campo de observaciones del trabajo de los estudiantes con las tareas encomendadas y de los debates en clase.

Doy las gracias a las autoras del artículo y al autor del post por sus aportaciones. Considero muy valiosas estas investigaciones, que hacen que los desarrollos teóricos se acerquen a los profesores de “a pie de aula” (y no se queden perdidos por “las alturas”), que no tenemos el tiempo ni los recursos necesarios para abordar todos los frentes prioritarios que nos plantea la educación matemática, acorde con los tiempos actuales, mirando hacia el desarrollo de las competencias que propugna el EEES, una de las cuáles es el planteamiento y resolución de problemas que la vida personal y profesional nos plantee a lo largo de la vida, en un momento en que las necesidades sociales son altamente cambiantes.

Para aportar “un granito de arena”, planteo un buen problema y uno menos bueno, propuestos por una de mis estudiantes para maestra, junto con sus comentarios:

• El bueno: ¿Cómo averiguarías la cantidad de líquido que hay en una lata de tu refresco favorito? (Obtener la respuesta supone entender la situación problemática y pensar de manera holística, hasta se puede calcular sin más que mirar la etiqueta).
• El menos bueno: Calcula el volumen de un cilindro de 11 cm. de altura, cuya base tiene un radio de 3,5 cm. (La respuesta se obtiene aplicando la fórmula sin más que saber multiplicar).

El sitio “www.matematicaparatodos.com” está en continua construcción, pues así debe ser. La búsqueda de la perfección es un camino, no un fin. El corregir errores, agregar nuevas páginas, etc. forma parte del trabajo de todos los días. Pues al fin al cabo somos trabajadores de las matemáticas, al servicio de los jóvenes.

Aunque el portal está pensado para secundaria hay una cuestión que pueden interesar a cualquier profesor de cualquier nivel. Se trata del Boletín de Matemática, que se puede recibir gratuitamente por correo-e sin más que suscribirse.

En el último número aparecen los Diez mandamientos del profesor, según Polya, tal vez uno de los primeros en plantear una heurística para resolver problemas (mucho más allá de los problemas de matemáticas, claro). Aunque su primera obra ampliamente conocida tiene más de 50 años, tiene plena vigencia, máxime en este momento en que las metodologías activas se están volviendo imprescindibles. En particular, el aprendizaje basado en problemas (ABP) debería tener como una de las referencias los pasos que Polya sugiere.

La primera edición de la obra citada, How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method data de 1945, editada en la Universidad de Princeton, ha sido reeditada y traducida a distintos idiomas. Se han vendido más de un millón de copias. Naturalmente, hay edición en español.
Con el mismo pragmatismo que su heurística, Polya propone los siguientes mandamientos para el profesor que considero sumamente útiles y tan básicos que van más allá de cualquier metodología en la que los estudiantes tengan el protagonismo que se merecen como aprendices activos, involucrados activa y responsablemente en su aprendizaje a lo largo de toda su vida a resolver los problemas que la vida plantea (que no son tan fáciles como los de matemáticas, que casi siempre tienen solución y además única, sobre todo los que se suelen plantear en las clases de matemáticas).

Polya está haciendo uso implícito de la idea de zona de desarrollo próximo, planteada por Vigostsky, que queda bien clara en sus mandamientos. Es decir, Polya ya tenía presente el constructivismo. Aquí están (el subrayado es mío):

1. Demuestre interés por su materia.
Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá.

2. Domine su materia.
Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será Vd. capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente. Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguiréis explicar algo claramente a vuestros estudiantes si antes no lo habéis comprendido perfectamente. De ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con algunos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor excepcionalmente malo.

3. Sea instruido en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo.
Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes: hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber, gracias a la experiencia de
vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes.

4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades; póngase en su lugar.
Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La reacción del estudiante a vuestra enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.

5. No les deis únicamente “saber”, sino “saber hacer”, actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico.
El conocimiento consiste, parte en “información” y parte en “saber hacer”. El saber hacer es el talento, es la habilidad en hacer uso de la información para un fin determinado; se puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el “saber hacer” se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se enseña.

6. Enseñadles a conjeturar.
Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos. El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa
de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico.

7. Enseñadles a demostrar.
“Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo”. De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido.

8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, a resolver otros problemas – intentad revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontáis.
Cuando presentéis la solución de un problema, subrayad sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y vuestra solución puede transformarse en un modelo de resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros problemas.

9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible.
He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejad que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: “El secreto para ser aburrido es decirlo todo”.

10. No inculquéis por la fuerza, sugerid.
Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear. Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean de dar.

Acabo de ver en Fresqui.com una superinteresante noticia, que seguro va a ser de utilidad al equipo Solfamusic proyect de Matemáticas y su Didáctica I – Educación Musical.
El título es ¿Qué es el pensamiento lateral?, y proviene de El pensamiento lateral - QUE ES EL PENSAMIENTO LATERAL – PROBLEMAS DE INGENIO. Destaco de allí:

¿Quién se anima a proponer soluciones a los problemas que plantean? Para abrir boca, dejo el primero:

EL HOMBRE EN EL ASCENSOR. Un hombre vive en un edificio en el décimo piso (10). Todos los días toma el ascensor hasta la planta baja para ir a su trabajo. Cuando vuelve, sin embargo, toma el ascensor hasta el séptimo piso y hace el resto del recorrido hasta el piso en el que vive (el décimo) por las escaleras. Si bien el hombre detesta caminar, ¿por qué lo hace?

Corazón, sentir:
Y ya puesta a hablar de Fresqui, dejé ayer una historia de ternura y muerte, muy entrañable y dolorosa para mi: Colita ya no está, la Naturaleza nos ganó, espero que con toda su sabiduría.
También una bonita foto de hace ya unos 3 meses.